Poissonjaotus

Poissonjaotus on tilastollinen jakauma, jota käytetään kuvaamaan harvinaisten, riippumattomien tapahtumien määrää tietyssä ajanjaksossa tai tilavuudessa. Se sopii tilanteisiin, joissa tapahtumien keskimääräinen määrä λ on tiedossa tai havaittavissa ja mittausjakson pituus on kiinteä.

Jakauman todennäköisyysmassafunktio on P(X = k) = e^{-λ} λ^k / k!, missä k = 0,1,2,... Odotusarvo on λ ja varianssi on λ. Moodi eli eniten todennäköinen arvo on ⌊λ⌋.

Poissonjaotus liittyy Poisson-prosessiin: jos tapahtumat tapahtuvat jatkuvasti, riippumattomasti ja keskimääräinen taajuus on λ per aikayksikkö, tietyn intervalin tapahtumien lukumäärä noudattaa Poissonjakaumaa parametreilla λτ. Binomijakauman suurta n ja p -tilannetta, jolloin np = λ, käytettäessä rajoituslähestymistapaa, Poissonjakauma on hyvä approksimaatio.

Sovellusesimerkkejä ovat sähköpostien, puhelujen tai virheiden määrän mittaaminen tunnissa sekä fotonien tai hiukkasten lukumäärä tietyllä alueella.

λ:n estimaattori on otoskeskiarvo: λ̂ = (1/n) ∑ X_i. Momenttien generaattori on M(t) = exp(λ (e^t - 1)). Poissonjakauman käyttö rajoittuu tilanteisiin, joissa tapahtumat ovat riippumattomia ja jakautuminen on oikea.