Poissonbrøker

Poissonbrøker er en bilineær, antisymmetrisk operasjon mellom funksjoner på faserommet i klassisk mekanikk. For et sett med kanoniske koordinater q_i og konjugerte momenta p_i defineres Poissonbrøken av to glatte funksjoner f og g som

{f,g} = sum_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i - ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i).

Poissonbrøken oppfyller bilineærhet og antisymmetri, og i tillegg Leibniz-regelen {f, gh} = {f,g}h + g{f,h}, samt Jacobi-identiteten {f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0. Dette gjør at glatte funksjoner på faserommet med dette brøken danner en Poisson-algebra. I canonical koordinater er de grunnleggende relasjonene {q_i, q_j} = 0, {p_i, p_j} = 0 og {q_i, p_j} = δ_ij, og brøken er invariant under kanoniske (symplektiske) transformasjoner.

Tidsutviklingen av en funksjon f følger Hamiltons ligninger: df/dt = {f, H} + ∂f/∂t, hvor H er Hamiltonians funksjon (systemets energi). Derfor beskriver Poissonbrøker dynamikken og de bevarte mengdene gjennom sin Lie-algebratiske struktur.

Poissonbrøker brukes til å definere en Lie-algebraisk struktur på funksjonsrommet, til å formulere symplektisk geometri og reduksjon av faserommet. I kvantemekanikkens kvantisering spiller Dirac-relasjonen om at kommutatoren er i praksis iħ ganger Poissonbrøken en grunnleggende kobling mellom klassisk og kvantitativ teori.

Et enkelt eksempel i én grad av frihet gir {q, p} = 1, mens {q, q} = {p, p} = 0. Dette ligger til grunn for mange mekaniske systemer, inkludert harmonisk oscillatorer og rotasjonsdynamikk i tilstrekkelig ramme.