PoissonGammaMischung

PoissonGammaMischung, auch Gamma-Poisson-Mischung genannt, ist ein mehrstufiges Wahrscheinlichkeitsmodell für Zähldaten. In der Grundstruktur wird eine Zählvariable X gegeben λ als Poisson-Verteilung modelliert: X | λ ~ Poisson(λ). Der Parameter λ selbst wird als Zufallsgröße mit Gamma-Verteilung angenommen: λ ~ Gamma(α, β) mit Formparameter α und Rateparameter β.

Durch Marginalisierung über λ ergibt sich die Randverteilung von X, die eine Negative-Binomial-Verteilung ist. Die Mischverteilung hat die Wahrscheinlichkeit P(X = k) = Γ(k+α) / (k! Γ(α)) · (β^α) / (β+1)^(k+α) für k = 0, 1, 2, …. Alternativ lässt sich die Verteilung als NB mit Parametern beschrieben: P(X = k) = C(k+α−1, k) p^α (1−p)^k mit p = β/(β+1). Der Erwartungswert beträgt E[X] = α/β und die Varianz Var(X) = α(β+1)/β^2, was die Überdispersion gegenüber der Poisson-Verteilung abbildet.

Eigenschaften und Interpretation: Die Gamma-Verteilung auf λ liefert eine konjugierte Prior für Poisson-Modelle; nach Beobachtung X ergibt sich eine Gamma-Posterior für λ mit den aktualisierten Parametern α' = α + X und β' = β + 1. Die Gamma-Poisson-Mischung ist daher sowohl im Frequentisten als auch im Bayesianen Zusammenhang nützlich, besonders zur Modellierung überdisperser Zähldaten in Bereichen wie Ökonomie, Epidemiologie und Ökologie. Bei großen α bzw. β nähert sich die Verteilung der Poisson-Verteilung an; bei kleineren Werten entsteht deutlich mehr Varianz.