Pintaelementit

Pintaelementit ovat pienimpiä, hallittavia osia pinnasta, joita käytetään määrittämään ja laskemaan pinta-alaa sekä suorittamaan pinta-alaan liittyviä integraaleja. Ne toimivat kuin pienet, käsiteltävät alueet, joiden avulla koko pinta voidaan rakentaa summana tai integroimalla.

Jos pinta S on parametrisoitu r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) riippuen parametreista u ja v, alue- eli pintaelementti on dS = ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv. Tämä ilmaisee pienen patchin pinta-alan. Pinnan voi myös esittää z = f(x,y) -tasossa; tällöin dS = sqrt(1 + (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2) dx dy.

Vektorikuvauksessa pintaelementti voidaan kirjoittaa dS_vec = (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv, jolloin sen suunta määrittää pinnan normaalin suunnan. Tämä on keskeistä, kun tarkastellaan virtoja pinnan läpi tai tehdään Stokesin/Gaussin lauseiden kaltaisia integraaleja.

Käyttökohteita ovat muun muassa pinta-alan laskeminen, A = ∬_D ||∂r/∂u × ∂r/∂v|| du dv, sekä pinta- ja virta- tai flux-integraalit, kuten ∬_S F · n dS, missä n on pinta-alueen normaalin yksikkövektori. Pintaelementit ovat keskeisiä sekä matematiikassa että fysiikassa ja niillä on laajat sovellukset esimerkiksi geometriassa, tekniikassa ja tietojenkäsittelyssä. Esimerkki: pinta z = f(x,y) alueella R antaa A = ∬_R sqrt(1 + f_x^2 + f_y^2) dx dy.