Periodisuuden

Periodisuus on ominaisuus, jossa ilmiö toistuu säännöllisesti tietyllä ajanjaksolla. Matematiikassa ja muissa tieteenaloissa tätä ajanjaksoa kutsutaan periodiksi, ja periodisuuden puhutaan olevan ilmiön toistuvuutta.

Matematiikassa funktio f: R → R on periodinen, jos on T > 0, jolla f(x+T) = f(x) kaikilla x ∈ R. T tunnetaan periodina; pienintä positiivista periodia kutsutaan perusjaksolle. Esimerkkejä ovat sin(x) ja cos(x), joiden periodi on 2π. Esiintyminen, ettei mikään positiivinen T riitä, tarkoittaa, että funktio ei ole periodinen (esimerkiksi e^x tai polynomi). Jaksojen joukko on sulkeutunut addition, ja useammalla kuin yhdellä jaksolla pohdittaessa voidaan usein löytää yhteinen perusjakso.

Jaksollisuus voidaan määritellä myös lukujonoille: jono a_n on jaksollinen, jos on p ∈ N sellainen, että a_{n+p} = a_n kaikilla n. Tällainen p tunnetaan jaksollisuuden pituutena.

Monimutkaisemmassa ja tieteellisessä kirjallisuudessa käsitellään myös kompleksifunktioita: f(z) on periodinen, jos ∃ ω ≠ 0, jolloin f(z+ω) = f(z) kaikilla z. Esimerkki on e^z, jolla on periodi 2πi. Jaksojen joukko muodostaa lisäyksen algebran perusmallin; jos funktiolla on useita jaksoja, niiden rakenteesta voidaan puhua esimerkiksi pienimmästä yhteisestä jaksolle, joka voi riippua funktiosta ja sen määrittelyalueesta.

Käytännön merkitys: periodisuus mahdollistaa esimerkiksi Fourier'n sarjat ja signaalien analyysin sekä kuvaa luonnonilmiöiden ja teknisten järjestelmien rytmistä toistuvuutta.