Parametrizarea

Parametrizarea este reprezentarea unui obiect geometric printr-o harta dintr-un domeniu de parametri in spatiul Euclidean, astfel incat coordonatele obiectului sa fie exprimate ca functii ale parametrilor. De obicei, o curba este descrisa printr-o functie gamma: I -> R^n, t -> (x1(t),…,xn(t)); o suprafata sau o figura intinsa se descrie printr-o harta r: U -> R^3 cu U un domeniu din R^2, u = (u,v). Imaginea hărţii reprezinta obiectul geometric.

Parametrizarea curbelor: o curba C este parametrizata de gamma(t). Ea este regulară daca derivata gamma'(t) nu este nula in intervalul I; obtinerea unei parametrizari de lungime de unda este adesea folosita pentru simplitatea calculelor. Exemplu: o linie dreapta poate fi parametrizata prin x(t) = a t + b, y(t) = c t + d. O curba circulara poate fi parametrizata cu gamma(t) = (cos t, sin t).

Parametrizarea suprafetelor: o suprafata sau o portiune de suprafata este parametrizata prin r(u,v). Derivatele partiale r_u, r_v si produsul lor vectorial determina elementul de suprafata si orientarea. Domeniul poate fi un subsector din R^2, iar imaginea este suprafata in spatiu.

Schimbarea parametrilor (reparametrizare) poate modifica modul de reprezentare fara a schimba imaginea geometrica; acesta poate afecta proprietati precum viteza sau lungimea prin valoarea jacobian-ului pentru integrale.

Aplicatii: parametrizarea este fundamentala in geometrie diferentiala, integrarea liniara si de suprafata, calculul lungimii, ariilor si ariei suprafetelor, dar si in grafica computerizata, CAD si fizica. Limitari: o obiect poate sa nu admită o parametrizare globala simpla din cauza coliziunilor sau a singularitatilor.