Parametriavaruudesta

Parametriavaruudesta on tilastotieteessä ja matematiikassa käytetty käsite, joka kuvaa kaikkien mallin parametreiksi pidettyjen arvojen joukkoa. Merkitään usein Θ:lla, ja jokainen θ ∈ Θ määrittää mallin f(x; θ) tai todennäköisyysjakauman Pθ. Parametriavaruus on siis se moninaisuusalue, jolta parametrit voivat ottaa arvoja.

Parametriavaruudella on erilaista rakennetta sen mukaan, millainen malli on kyseessä. Se voi olla jatkuva tai diskreetti, rajattu tai rajaamaton, ja se voi koostua useamman komponentin rajoitetuista tai vapauksista. Esimerkiksi Θ = R^n on yleinen kontinuu­misen osoitin, kun taas Θ voi olla osittain rajoitettu esimerkiksi Θ ⊆ R^n, missä jokainen komponentti täyttää tietyt ehdot kuten θ_i ∈ [a_i, b_i] tai θ_i > 0. Joissakin tilanteissa parametrien määrä voi olla äärellinen tai epäjatkuva.

Tilastotieteessä parametriavaruus määrittää, millaisia parametriarvoja käytetään mallin kuvaukseen. Todennäköisyysjakauman tai mallin tiheys Pθ ja sen mukaan laskettu todennäköisyysfunktio L(θ | data) sijaitsee kyseisellä Θ-akselilla. Estimaatiossa tavoitteena on löytää θ ∈ Θ, joka parhaiten selittää havainnot. Identifoitavuus eli identifiabiliteetti kertoo, voiko eri θ tuottaa erislaisia jakaumia. Bayes-teoriassa priori π(θ) määritellään Θ:n sisälle, ja posteriori riippuu sekä datasta että priosta.

Esimerkkejä: normaalijakauman parametrien μ ∈ R ja σ^2 ∈ (0, ∞) määrittävät Θ:n R × (0, ∞). Lineaarisessa regressiossa β ∈ R^p. Bernoulli-mallissa todennäköisyys p kuuluu [0, 1]. Parametriavaruus voi sisältää myös ehtoihin perustuvia epävarmuuksia, kuten epäjatkuvia tai monimutkaisia rajoja, ja se vaikuttaa olennaisesti estimointiin ja päätöksentekoon.

---