Padverbondenheid

Padverbondenheid is een eigenschap van een topologische ruimte X waarbij elk paar punten x en y in X met elkaar verbonden kan worden door een pad dat geheel in X ligt. Een pad is een continue kaart γ: [0,1] → X met γ(0) = x en γ(1) = y. X is padverbonden als voor alle x, y in X zo'n γ bestaat.

Relatie met verbondenheid: elke padverbonden ruimte is verbonden, maar een verbonden ruimte hoeft niet padverbonden te zijn. Een bekend voorbeeld van een verbonden maar niet padverbonden ruimte is de topoloog-sinecurve. Doorgaans impliceert padverbondenheid sterker dan algemene verbondenheid.

Voorbeelden en eigenschappen: de euclidische ruimte R^n is padverbonden en dus ook verbonden; de eenheidscirkel S^1 in R^2 is eveneens padverbonden. Een verzameling die uit twee disjuncte componenten bestaat, bijvoorbeeld [0,1) ∪ [2,3], is niet padverbonden. Over het algemeen is het begrip padverbondenheid nuttig om te spreken over de mogelijkheid om tussen twee punten een continu pad te tekenen, wat in veel toepassingen een belangrijke rol speelt.

Padcomponenten: voor een punt x in X bestaat de padcomponent P(x) uit alle punten die via een pad met x verbonden zijn. De verzameling P(x) is een onderdeel van X en levert een partition op. In ruimten die lokaal padverbonden zijn (zoals R^n), komen padcomponenten overeen met verbonden componenten: elk punt ligt in een open padcomponent en de componenten vormen open componenten van X.