PLUdekompositionien

PLUdekompositionien (PLU-Dekompositionen) sind eine Faktorisierung quadratischer Matrizen in die Form P L U, wobei P eine Permutationsmatrix, L eine unit lower triangular und U eine upper triangular Matrix ist. Die verbreitete Konvention lautet P A = L U; alternativ wird A = P^T L U verwendet, je nach gewählter Darstellung. Die Permutationsmatrix P codiert die Zeilentauschschritte, die im Rahmen der Gaußschen Eliminationsmethode mit Pivoting durchgeführt werden. L enthält die Eliminationsmultiplikatoren und besitzt eine Diagonale aus Einsen; U enthält die resultierenden oberen Dreieckselemente.

Existenz und Bedingungen: Unter geeigneten Pivoting-Bedingungen existiert eine PLU-Dekomposition. Jedes reguläre (invertierbare) A besitzt durch Zeilenpivoting eine PLU-Dekomposition, d. h. es gibt P, L und U mit P A = L U. Singuläre Matrizen können ebenfalls PLU-Dekompositionen besitzen, es gibt aber Fälle, in denen Pivoting nicht zu einer eindeutigen LU-Deckung führt.

Berechnungs- und Anwendungsaspekte: Die PLU-Dekomposition dient der Lösung von linearen Gleichungssystemen A x = b durch drei Schritte: y = P b; L y = y; U x = y; sowie der Bestimmung von Determinanten (det(A) = det(P) det(U), da det(L) = 1). Sie erleichtert auch Inversenberechnungen und dient als Vorstufe in vielen numerischen Verfahren, etwa bei Iterationsmethoden oder bei der Stabilisierung von Berechnungen.

Varianten: Typische Pivoting-Strategien sind partielles Pivoting (nur Zeilentausch) und vollständiges Pivoting (Zeilen- und Spaltenwechsel).