Ostittaisdifferentiaaliyhtälö

Ostittaisdifferentiaaliyhtälö (englanniksi "singularly perturbed differential equation") on differentiaaliyhtälö, jossa on pieni parametri, joka on kerrottu korkeimman kertaluvun derivaatan kanssa. Tämä pieni parametri, jota usein merkitään $\epsilon$, aiheuttaa sen, että yhtälön ratkaisun käyttäytyminen muuttuu merkittävästi, kun parametri lähestyy nollaa. Kun $\epsilon = 0$, yhtälön kertaluku laskee, ja se muuttuu "degeneroituneeksi" differentiaaliyhtälöksi.

Ratkaisuostittaisilla differentiaaliyhtälöillä on usein "rajakerros" (boundary layer) tai "yhtäkkisen muutosalue" (interior layer), jossa ratkaisu muuttuu nopeasti. Rajakerrokset sijaitsevat tyypillisesti lähellä yhtälön määriteltyjä reunoja tai pisteitä, joissa jokin osa yhtälöstä muuttuu merkittäväksi. Näiden rajakerrosten analysointi on keskeinen osa ostittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimusta.

Näitä yhtälöitä käytetään mallintamaan monenlaisia ilmiöitä eri tieteenaloilla. Fysiikassa niitä esiintyy esimerkiksi kvanttimekaniikassa ja virtausdynamiikassa. Kemiallisessa kinetiikassa ne kuvaavat nopeita reaktioita. Biologiassa niitä voidaan käyttää mallintamaan nopeita biokemiallisia prosesseja tai populaatiodynamiikkaa.

Ostittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voi olla haastavaa. Usein käytetään ns. aseenmukaistusmenetelmiä (asymptotic methods) tai erikoisominaisuuksiin perustuvia numeerisia menetelmiä, jotka pystyvät käsittelemään rajakerrosten aiheuttamaa epäjatkuvuutta ratkaisussa. Näiden menetelmien avulla voidaan löytää likimääräisiä ratkaisuja tai ymmärtää yhtälön yleistä käyttäytymistä.