epäjatkuvuutta

Epäjatkuvuus tarkoittaa pistettä tai pistetä, jossa funktio ei ole jatkuva. Jatkuvuus määritellään siten, että funktio f on jatkuva pisteessä x0, jos raja lim_{x→x0} f(x) = f(x0). Epäjatkuvuus ilmenee silloin, kun tätä ehtoa ei täyty. Yleisesti epäjatkuvuus voidaan luokitella eri tyyppeihin sekä raja-arvojen että funktion arvon perusteella.

Tyypillisiä pistetason epäjatkuvuustyyppejä ovat:

- korjattavissa oleva epäjatkuvuus (removable): lim_{x→x0} f(x) = L ∈ R ja f(x0) ei ole L tai f(x0) ei ole määritelty. Poistaminen toteutuu, kun f(x0) määritellään arvoksi L. Esimerkki: f(x) = (x^2−1)/(x−1) for x ≠ 1; f(1) = 0. Rajoja linjaantuu L = 2, ja f voidaan määritellä arvoon 2, jolloin epäjatkuvuus poistuu.

- hyppypisteessä oleva epäjatkuvuus (jump): vasemman ja oikean rajan arvo ovat sekä olemassa, mutta ne ovat ei-yhtäiset. Esimerkki: f(x) = 0 kun x < 0, ja f(x) = 1 kun x ≥ 0.

- ääretön epäjatkuvuus (infinite): raja vie ±∞ arvoon, esimerkiksi f(x) = 1/x pisteessä x0 = 0.

- värähtelevä epäjatkuvuus (oscillatory): raja ei jää kummallekaan arvolle, usein esimerkkinä f(x) = sin(1/x) kun x → 0.

Jatkuvuuden käsite ulottuu desimaalitasolta analyyttisiin rakennelmiin ja topologiaan. Esimerkiksi reaalifunktioiden määrittelyalueilla epäjatkuvuudet vaikuttavat integraatioitumiseen sekä differentioituvuuteen, ja niiden luokittelu auttaa analyysissä ja sovelluksissa.