Optimaalisuusehdot

Optimaalisuusehdot ovat matemaattisia ehtoja, joiden avulla voidaan todentaa, milloin piste on optimaalisessa asemassa ratkaisuongelmassa. Ne antavat ohjelmatyökalun löytää ja varmentaa minimi- tai maksimiarvot sekä määrittää, millä ehdoilla ehdotettu piste on optimaalinen, joko ilman rajoitteita tai rajoitettujen ongelmien yhteydessä.

Unconstrained (rajoittamaton) optimointi: Jos f on derivoituva ja x* on lokaali minimi pisteessä sisäosassa, Fermatin teoreeman mukaan gradientti on nolla mittauksessa: ∇f(x*) = 0. Rajoittamattomien ongelmien toinen sijaintitapa on, että toisen kertaluvun konditiot ovat positiivisesti määriteltyjä: Hessian ∇^2f(x*) on positiivisesti semidefiniittinen (ja positiivisesti definiittinen rahdin ollessa riittävä) osoittaen lokaalia minimiä. Monimutkaisemmissa tapauksissa saatetaan tarvita toisen kertaluvun ehtoja, jotka huomioivat epäjatkuvuudet tai ei-konkreettisesti päättyvät suoraan.

Rajoitetut optimointi (KKT-ehdot): Kun ongelmalla on epäturvat g_i(x) ≤ 0 -rajoitteita ja/tai h_j(x) = 0 -yhteisten ehtoja, käytetään Lagrangen menetelmää: L(x, λ, μ) = f(x) + ∑ λ_i g_i(x) + ∑ μ_j h_j(x). Ehdot koostuvat: ∇xL(x*, λ*, μ*) = 0, g_i(x*) ≤ 0, h_j(x*) = 0, λ_i ≥ 0, λ_i g_i(x*) = 0 (complementaarinen lomitus). Matalammat regulariteettiehdot mahdollistavat näiden ehtojen pätevyyden.

Sufficient ja convexisuus: Epävarmuuksien yhteydessä, jos ongelma on konveksi (f ja g_i konveksit, h_j affiineja) ja Slaterin ehtoa täytetään, KKT-ehdot ovat sekä välttämättömiä että riittäviä optimaalisen ratkaisun kannalta. Käytännössä optimoijat hyödyntävät näitä ehtoja erilaisten algoritmien, kuten gradienttien, sisään- ja ulompien pisteiden sekä havaitsemien aktiivisten joukkojen menetelmissä.

Käytännön käyttö: Optimaalisuusehdot toimivat perustavana työkaluna ratkaisuongelmien analysoinnissa, algoritmien suunnittelussa ja ratkaisujen oikeellisuuden todentamisessa sekä teoreettisessa tutkimuksessa.