Oberflächenmenge

Oberflächenmenge bezeichnet in der Mathematik eine Menge von Punkten, die eine Oberfläche bildet. In der Geometrie ist damit meist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich als Untermenge von drei-dimensionalem Raum R^3 darstellen lässt. Allgemeiner kann der Begriff auch für k-dimensionale Oberflächen in R^n verwendet werden, sobald die lokale Struktur einer k-dimensionalen Fläche gegeben ist.

Eine reguläre Oberfläche S ⊂ R^3 ist eine Menge, bei der jeder Punkt p in S durch eine glatte Parametrisierung X: U → R^3 mit U offen in R^2 in einer Umgebung von p abbildet, so dass der Jacobiitenrang 2 besitzt. Die Tangentialebene T_pS wird durch die aus ∂X/∂u, ∂X/∂v erzeugte Ebene gegeben. Die Orientierung ist optional: Man kann eine Orientierung auf S wählen, falls konsistente Normalen existieren.

Beispiele sind die Ebene R^2 in R^3, die Kugel S^2 = {x ∈ R^3 : ||x|| = 1} und der Torus. Parametrisierungen, etwa durch kartesische, sphärische oder torische Koordinaten, illustrieren die Idee der Oberflächenstruktur. Über Parametrisierung erhält man auch geometrische Größen wie das Flächenmaß.

Die Fläche erhält ein Flächenmaß dS, das aus der Parametrisierung folgt: dS = ||∂X/∂u × ∂X/∂v|| du dv. So lässt sich der Flächeninhalt A(S) = ∫_S dS berechnen. Allgemein lässt sich die Fläche auch über die 2-dimensionale Hausdorff-Messung definieren. Oberflächen können zusätzlich Orientierung, Rand oder Singularitäten besitzen, was ihre mathematische Behandlung beeinflusst.

Anwendungsbereiche umfassen Geometrie, Physik und Computergrafik. Der Begriff wird auch in allgemeineren Kontexten verwendet, wobei nicht reguläre Oberflächen spezielle Behandlung erfordern.