Normengruppen

Normengruppen bezeichnet man in der Zahlentheorie als das Bild des Normabdrucks N_{E/K}: E^× → K^×, also als N_{E/K}(E^×) ⊆ K^×. Für eine endliche Erweiterung E/K ist der Normoperator definiert durch N_{E/K}(x) = det(m_x), wobei m_x: E → E die lineare Abbildung M ↦ xM ist. In der Galoisvorstellung entspricht N_{E/K}(x) dem Produkt aller Galoiskonjugaten von x, aber die grundsätzliche Definition über den Determinanten gilt unabhängig von der Galoisität der Erweiterung.

Die Normengruppe ist somit eine Untergruppe von K^×, die alle Normen von Elementen aus E^× enthält. Ihre Struktur hängt stark von der Art der Erweiterung ab. So lässt sich für eine quadratische Erweiterung E = K(√d) berechnen, dass N_{E/K}(a + b√d) = a^2 − b^2 d; damit ist die Normgruppe im Allgemeinen eine Teilmenge von K^× und nicht zwangsläufig ganz K^×.

Bedeutung und Anwendungen: In der Klassenfeldtheorie spielt die Normengruppe eine zentrale Rolle. Für eine endliche abelsche Erweiterung E/K steht K^× / N_{E/K}(E^×) in Zusammenhang mit der abelschen Galoisgruppe der Erweiterung über die Artinsche Abbildung. Lokale-global-Ansätze führen zu Satzbestimmungen wie dem Hasse-Normsatz: Bei zyklischen Erweiterungen E/K gilt, dass ein Element von K^× global eine Norm von E ist, sofern es in jeder lokalkompatiblenSituation normierbar ist.

Siehe auch: Artinsche Abbildung, Hilbert-N90, Normrest-Symbol, Klassenfeldtheorie.