Normberäkningar

Normberäkningar är beräkningar av normer i vektorrum, vanligtvis i R^n eller C^n. En norm är en funktion ||x|| som tilldelar varje vektor x ett icke-negativt tal som kan tolkas som längd eller storlek. Normer används för att mäta avstånd, storlek och konvergens inom matematik och tillämpningar.

Normen måste uppfylla tre grundläggande egenskaper: definitivitet (||x|| = 0 endast om x = 0), homogenitet (||αx|| = |α| ||x|| för alla skalärer α) samt triangelolikheten (||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||).

Vanliga normer för vektorer är L1-, L2- och L∞-normen. För x ∈ R^n är ||x||1 = ∑_i |x_i|, ||x||2 = sqrt(∑_i x_i^2) och ||x||∞ = max_i |x_i|. Den generella p-normen är ||x||p = (∑_i |x_i|^p)^{1/p} för p ≥ 1. Inom funktionella och operatorrum används också andra normer beroende på sammanhang.

Matriser normer definieras ofta som operatornormer: ||A|| = sup_{x ≠ 0} ||Ax|| / ||x||. Exempelvis är ||A||1 = max_j ∑_i |a_ij|, ||A||∞ = max_i ∑_j |a_ij| och ||A||2 den spektrala normen, lika med största singulärvärdet. Frobenius-normen är sqrt(∑_{i,j} a_ij^2).

Beräkningar av normer är i praktiken ofta direkta formler för vektorer och matrixderivationsmetoder som SVD för den spektrala normen. Normer används inom optimering, felanalys, konvergenskriterier och mått på avstånd inom statistik och maskininlärning.

I ändligt dimensionalt utrymme är alla normer ekvivalenta, vilket innebär att de definierar samma topology och ger liknande konvergensbeteende men med olika storleksskalar. Normberäkningar är centrala i numerisk analys och dataanalys.