Normaalijakaumat

Normaalijakaumat ovat jatkuvia todennäköisyysjakaumia, jotka ovat symmetrisen kellonmallisia ja sepili ovat täysin määriteltyjä. Jakauman keskiarvo μ ja varianssi σ² (σ > 0) määrittävät sijainnin ja spredin. Tiheysfunktio on f(x) = 1/(σ√(2π)) exp(-(x−μ)²/(2σ²)). Kun μ = 0 ja σ = 1, kyseessä on standardimalli, jossa kertakäyttöinen muuttuja z:n tiheys on φ(z) = 1/√(2π) exp(-z²/2).

Standardin normaalin CDF on Φ(z) = P(Z ≤ z), ja sitä käytetään z-tilanteissa tulkiten havaintoja liittyen μ:hon ja σ:iin. Ominaisuuksiin kuuluu, että normaalijakauman ominaispiirteitä ovat symmetria μ:n suhteen, murtuma- ja epätodennäköisyydet kasvavat seuraavasti ja että summat itsenäisiä normaalijakautuneita muuttujia ovat myös normaalijakautuneita. Yhden muuttujan lineaariset muunnokset, kuten Y = aX + b, jakautuvat N(aμ + b, a²σ²).

Monimutkaisempia malleja varten on olemassa multivariaattinen normaalijakauma, jossa satunnaismuuttujien vektori X napea mean- ja kovarianssimatriisin Σ. Tiheysfunktio on (2π)^{-n/2} |Σ|^{-1/2} exp(-1/2 (x−μ)ᵀ Σ^{-1} (x−μ)) ja on elliptisen muotoinen.

Käyttökohteita ovat mittausvirheet, jäännösten normaalisuus lineaarisessa regressionissa, tilastollinen inference (esim. z- ja t-testit, luottamusvälit) sekä suurten otoskokojen keskusherkkyyden (central limit theorem) periytyminen. Parametrit μ ja σ² arvioidaan yleensä otoskeskiarvon ja otosvarianssin avulla; normaalijakauman oletuksia käytetään laajasti tilastollisessa mallinnuksessa.