Multiresolutionanalyyseissa

Multiresolutionanalyyseissa (MRA) käsitellään signaaleja ja kuvia useissa eri tarkkuuksien tasoissa, jolloin karkea rakenne ja yksityiskohtaiset piirteet voidaan tarkastella erillisinä mutta yhteydessä toisiinsa. Tavoitteena on tarjota joustava esitys, jossa informaatiota voidaan analysoida, suodattaa ja rekonstruoida eri mittakaavoissa.

Perusidea rakentuu jonoista alitiloja V_j (j ∈ Z), jotka muodostavat järjestetyn, suppeutumisen mukaan kasvavan rakenteen: V_j ⊆ V_{j+1}, ja L^2(R) voidaan saavuttaa näiden tilojen ansiosta. Jokainen V_j voidaan tuottaa skalointifunktion φ: V_j = span{φ_{j,k}}. Skalointifunktio ja sen dilataatio/translaatiosuhteet määrittelevät, miten tiedon karkea rakenne tallennetaan kerroksessa.

Kontekstissa esiintyy myös wavelet-tila W_j, jonka avulla V_{j+1} ja V_j täydennetään: V_{j+1} = V_j ⊕ W_j. Näin signaali s voidaan purkaa kerroksittain: jokainen taso paljastaa sekä karkean muodon että siihen liittyvät yksityiskohdat. Diskreetissä toteutuksessa (DWT) käytetään matala- ja korkeavaloja suodattimia h_k ja g_k, joiden avulla signaali jaetaan ja rekonstruoidaan tehokkaasti Mallatin algoritmilla.

Sovellukset ulottuvat signaalin denoista ja pakkausta (esimerkiksi JPEG 2000), kuvankäsittelyyn, ajan- ja taustasignaaleihin sekä numeerisiin analyyseihin. MRA:n teoreettinen perusta sekä käytännön algoritmit ovat keskeisiä keinoja multiresoluutioisessa tiedon käsittelyssä. Historiaan liittyvät työntekijät kuten Stéphane Mallat ja Yves Meyer, joiden panos vahvisti MRA:n ja wavelet-teorian kehittymistä 1980-luvulla.