Multinomialkoeffisienter

Multinomialkoeffisienter er en generell utvidelse av binomialkoeffisienten som opptrer i utvidelsen av binomialteoremet til flere variabler. For heltall n ≥ 0 og ikke-negative heltall n1, ..., nk med n1 + ... + nk = n defineres multinomialkoeffisienten som (n choose n1, ..., nk) = n! / (n1! n2! ... nk!). Denne tallet er symmetrisk i n1, ..., nk.

Dette tallet har en klar komlogativ tolkning: det teller antall måter å ordne en sekvens av lengde n slik at symbolene 1 forekommer n1 ganger, symbol 2 forekommer n2 ganger, og så videre opp til symbol k som forekommer nk ganger. Det kan også ses som antall måter å fordele n identiske gjenstander i k distinkte kasser med respektive tall n1, ..., nk.

Multinomialteoremet sier at (x1 + x2 + ... + xk)^n = sum over n1+...+nk=n av (n choose n1, ..., nk) x1^{n1} x2^{n2} ... xk^{nk}. Dette viser hvordan multinomialkoeffisientene opptrer som koeffisienter i utvidelsen av potens av en sum. Når k = 2, reduseres det til binomialteoremet, og (n choose n1, n2) blir binomialkoeffisienten n!/(n1! n2!).

Eksempel: for n = 5, k = 3 og n1 = 2, n2 = 1, n3 = 2 gir (5 choose 2,1,2) = 5!/(2! 1! 2!) = 30.

Anvendelser inkluderer kombinatorikk og sannsynlighet, spesielt i multinomialfordelingen der sannsynligheten for å få n1 ganger type 1, n2 ganger type 2, ..., nk ganger type k i n uavhengige forsøk er (n choose n1, ..., nk) p1^{n1} p2^{n2} ... pk^{nk}. Multinomialkoeffisienter spiller også en rolle i stokastiske modeller, genererende funksjoner og analyse av fordelinger i flere kategorier.