Mittpunktsmetoden

Mittpunktsmetoden är en numerisk metod för att approximera lösningar till ordinära differentialekvationer y' = f(t, y) med initialvillkoret y(t0) = y0. Metoden är en explicit andra ordningens Runge-Kutta-metod och används ofta för att få en bättre noggrannhet än enkel Euler samtidigt som implementationen är relativt enkel.

Algoritmen uttrycks vanligtvis som:

k1 = f(t_n, y_n)

k2 = f(t_n + h/2, y_n + h/2 k1)

y_{n+1} = y_n + h k2

Alternativt kan man skriva y_{n+1} = y_n + h f(t_n + h/2, y_n + (h/2) f(t_n, y_n)).

Egenskaper: Mittpunktsmetoden har global ordning 2 och lokal trunceringsterror O(h^3). Den är explicit och relativt enkel att implementera, vilket gör den populär för icke-stiff problem. Den är dock inte A-stabil och uppnår inte samma stabilitetsegenskaper som implicita metoder vid stumma eller mycket styva system, vilket gör den mindre lämplig för vissa stiff problem.

Relationer och användning: Metoden är ett speciellt fall av Runge-Kutta-familjen med ett specifikt Butcher-schema. Den ligger mellan den enkla Euler-metoden och mer sofistikerade metoder i termer av noggrannhet och stabilitet. Den används ofta i undervisning och modellering där man vill ha förbättrad noggrannhet utan att gå upp i fullständiga mer kostsamma metoder.

Notera: termen mittenregel kan i andra sammanhang hänvisa till mittenpunktsregeln vid numerisk integration av definite integraler, vilket är en annan metod än denna Runge-Kutta-baserade mittpunktsmetod. I differential-ekvation-sammanhang avses vanligtvis den explicit midpoint-method som beskrivits ovan.