Minimiarvo

Minimiarvo on pienin arvo, jonka funktio f ottaa määrittelyalueellaan D. Jos löytyy piste x ∈ D sellainen, että f(x) = min{ f(x) | x ∈ D }, puhutaan että f saavuttaa minimiarvonsa pisteessä x, ja minimiarvo on silloin f(x). Tämä piste voi olla minimipiste; samalla voidaan puhua paikallisesta minimiarvosta, jolla on pieni ympäristö, jossa f(x) on suurempi tai yhtäsuuri kuin f(x), tai globaalista minimiarvosta, joka on pienin arvo kaikilla alueella D.

Minimiarvon olemassaolo ei ole automaattista. Yleensä jatkuvan funktion minimi voidaan taata, kun määrittelyalue on kompakte, esimerkiksi suljettu ja rajallinen väli [a,b]. Tällöin funktio saavuttaa sekä minimi- että maksimiarvonsa. Jos minimiä ei ole saavutettu, puhutaan infimumista: suurimmasta alarajasta, joka on kaikkien arvojen alapuolella, mutta ei välttämättä ole itse f(x):n arvo missään pisteessä. Infimum voi olla olemassa ja olla suurempi kuin mikään f(x), jolloin minimiä ei ole.

Esimerkkejä: f(x) = x^2, x ∈ [-1,2], minimiarvo on 0, saavutetaan pisteessä x = 0. f(x) = sin x, x ∈ [0,2π], minimiarvo on -1, saavutetaan pisteessä x = 3π/2. f(x) = e^x, x ∈ R, infimum on 0, mutta minimiä ei saavuteta.

Minimiarvon käsite liittyy minimointiin ja erottuu mahdollisesti paikallisen ja globaalin minimin määritelmillä sekä infimumin käsitteellä.