Minimiarvo

Minimiarvo on pienin arvo, jonka funktio f ottaa määrittelyalueellaan D. Jos löytyy piste x* ∈ D sellainen, että f(x*) = min{ f(x) | x ∈ D }, puhutaan että f saavuttaa minimiarvonsa pisteessä x*, ja minimiarvo on silloin f(x*). Tämä piste voi olla minimipiste; samalla voidaan puhua paikallisesta minimiarvosta, jolla on pieni ympäristö, jossa f(x) on suurempi tai yhtäsuuri kuin f(x*), tai globaalista minimiarvosta, joka on pienin arvo kaikilla alueella D.

Minimiarvon olemassaolo ei ole automaattista. Yleensä jatkuvan funktion minimi voidaan taata, kun määrittelyalue on kompakte, esimerkiksi suljettu ja rajallinen väli [a,b]. Tällöin funktio saavuttaa sekä minimi- että maksimiarvonsa. Jos minimiä ei ole saavutettu, puhutaan infimumista: suurimmasta alarajasta, joka on kaikkien arvojen alapuolella, mutta ei välttämättä ole itse f(x):n arvo missään pisteessä. Infimum voi olla olemassa ja olla suurempi kuin mikään f(x), jolloin minimiä ei ole.

Esimerkkejä: f(x) = x^2, x ∈ [-1,2], minimiarvo on 0, saavutetaan pisteessä x = 0. f(x) = sin x, x ∈ [0,2π], minimiarvo on -1, saavutetaan pisteessä x = 3π/2. f(x) = e^x, x ∈ R, infimum on 0, mutta minimiä ei saavuteta.

Minimiarvon käsite liittyy minimointiin ja erottuu mahdollisesti paikallisen ja globaalin minimin määritelmillä sekä infimumin käsitteellä.