Minimaksprintsiip

Minimaksiprinsii, tai minimax-prinsip, on variational principle som används inom funktionalanalys och spektralteori för att karakterisera eigenvärden hos självadjungerade operatorer. Prinsippet ger ett sätt att bestämma eigenvärden genom optimering av Rayleigh-kvoten över underrum eller delrum i vinkelrikt jämnt rum, utan att direkt lösa egenvärdesproblemet.

Courant–Fischer min-max-lagen säger följande. Låt A vara en real symmetrisk matris (eller allmänt självadjungerad operator) vars eigenvärden ordnas så λ1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λn. Då är för varje k = 1,…,n giltende

λ_k = min_{dim(S)=k} max_{0 ≠ x ∈ S} (x^T A x) / (x^T x).

Väldigt lika, men omvänt:

λ_k = max_{dim(T)=n-k+1} min_{0 ≠ x ∈ T} (x^T A x) / (x^T x).

I oändligdimension gäller motsvarande karakteriseringar för självadjungerade, kompakta operatorer eller operatorer med diskret spektrum, ofta med lämpliga topologiska justeringar.

Sovelluksia: Minimaksiprinsii ger praktisk metod att uppskatta eller bestämma eigenvärden utan direkt diagonalisation, och används flitigt i lösningar av eigenvärdesproblem inom differentialekvationer, t.ex. Laplace-operatorn på ett bounded mål, i kvantmekanik samt i numerisk linjäralgebra.

Historia: Prinsippet är knutet till Courant- och Fischer- arbeten under 20-talet och 1950-talet, och betraktas som en central variational metod inom spektralteori.