Mahalanobisavstånd

Mahalanobisavståndet är ett mått på avstånd mellan en observation och en referenspunkt eller mellan två observationer som tar hänsyn till varians och korrelationer mellan variablerna. Det används för att bedöma hur många standardavvikelseenheter ett datapunkt skiljer sig från medelvärdet i en multivariat kontext.

För en observation x i en rum där medelvärdet är μ och kovariansmatrisen är Σ är Mahalanobisavståndet mellan x och μ givet av D_M(x, μ) = sqrt((x − μ)^T Σ^−1 (x − μ)). Om man vill mäta avståndet mellan två observationer x och y används ofta D_M(x, y) = sqrt((x − y)^T S^−1 (x − y)), där S är en lämplig kovariansmatris, exempelvis den gemensamma eller uppnådda i en grupp.

Egenskaperna hos Mahalanobisavståndet inkluderar att det tar hänsyn till korrelationer och olika skalor bland variablerna och att det är invariant under lineär skalning och rotation. Efter en whitening-process uppnås ett avstånd som liknar det klassiska Euklidiska avståndet. Om x följer en multivariat normalfördelning Med μ och Σ så följer D_M^2 en chi-två-fördelning med antalet dimensioner k.

Användningsområden inkluderar outlierdetektering, klassificering och klustring där man vill jämföra objekt med klassernas fördelningar, samt riskbedömningar och kvalitetskontroll. I praktiken kan Σ vara svår att invertera i högdimensionella data, vilket kräver regulering, schrinkage eller användning av pseudoinvers for att få ett stabilt avstånd.