Lyapunovfunktionit

Lyapunovfunktionit ovat skalaareja funktioita, joita käytetään dynaamisten järjestelmien vakauden todentamiseen ilman ratkaisujen etsimistä. Tavanomaisesti tarkasteltava järjestelmä on jatkuva-aikainen, muotoa ẋ = f(x), tila x ∈ R^n ja valittu alue D, jossa funktio V: D → R on neliömuotoisesti positiivinen.

Vahvuusperusteena on V:n arvo ja sen aikakäyttäytyminen trajektorioiden mukana. Lyapunov-funktio on yleensä positiivisesti määritelty: V(0) = 0 ja V(x) > 0 kaikille x ≠ 0. Jatkuva-aikaisessa tapauksessa dV/dt = ∇V(x) · f(x). Jos dV/dt ≤ 0 kaikilla x ja dV/dt < 0 jossain naapurustossa, nollaequilibrium on paikallisesti asymptoottisesti vakaa. Jos dV/dt ≤ 0 yleisesti, järjestelmä on vakaa (Lyapunovin vakaus). Diskreetissä ajassa vastaavat ehdot ovat ΔV(x) = V(f(x)) − V(x) ≤ 0.

Lyapunov-teoriaa käytetään sekä analyysiin että suunnitteluun. Yleisesti V:a kehitetään niin, että se on positiivisesti määritelty ja sen aikadynamiikka ei kasvattele energiaa tai potentiaalia. Yleisiä rakennusmenetelmiä ovat kvadrattiiviset V(x) = x^T P x, P ≻ 0, sekä Lyapunov-yhtälö A^T P + P A = −Q, Q ≻ 0 lineaarisissa järjestelmissä ẋ = Ax.

Lyapunovin menetelmä ei kuitenkaan ole tarpeeksi; johdonmukaisen V:n löytyminen voi olla vaikeaa, ja sen ei välttämättä tarvita konstruktiota ei-derivoituville tai monimutkaisille järjestelmille. Laajennuksia, kuten La Salle’n invarianssi-prinssiippiä, käytetään vakauden vahvistamiseen.