Logaritmifunktion

Logaritmifunktionen, eller logaritmfunktionen, är en matematisk funktion som fungerar som inversen till en exponentialfunktion med en positiv bas b där b ≠ 1. För varje bas b > 0, b ≠ 1, definieras log_b(x) som det y-värde som uppfyller b^y = x. Med andra ord är log_b: (0, ∞) → ℝ enligt y = log_b(x).

Egenskaperna är grundläggande: domänen är x > 0 och räckvidden är ℝ. Funktionen är ökande om b > 1 och avtagande om 0 < b < 1. Derivatan är d/dx log_b(x) = 1/(x ln b). Naturliga logaritmen ln x är log_b(x) med b = e, medan log_10(x) är den vanliga logaritmen med bas 10. Omvandlingsformeln är log_b(x) = ln(x) / ln(b).

Väsenliga identiteter inkluderar log_b(1) = 0, log_b(x^k) = k log_b(x), log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) och log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y). Grafen har en vertikal asymptot vid x = 0, korsar axeln vid (1, 0) eftersom log_b(1) = 0. För basen b > 1 är funktionen ökande och går mot ∞ när x → ∞ och mot −∞ när x → 0+. För 0 < b < 1 är den avtagande och går mot ∞ när x → 0+ och mot −∞ när x → ∞.

Användningar innefattar att omvandla multiplicativa relationer till additiva, hantera mycket små eller stora tal, dataomvandling och olika skalor inom naturvetenskap, teknik och ekonomi. Exempel: log_2(8) = 3 och ln(7) ≈ 1.946.