Lipschitzjatkuva

Lipschitzjatkuva tarkoittaa, että funktion muutosnopeus on rajoitettu ennalta määritellyllä vakiolla. Olkoon f: X → Y mitattavat tilat ja d_X sekä d_Y niiden etäisyyksiä mittaavat kertomukset. Silloin f on L-Lipschitz, kun on jokin L ≥ 0 siten, että kaikille x, y ∈ X pätee d_Y(f(x), f(y)) ≤ L d_X(x, y).

Jos X ja Y ovat Eurooppalaiset tai yleisemminkin R^n ja käytetään tavallisia etäisyyksiä, tämä tarkoittaa ∥f(x) − f(y)∥ ≤ L ∥x − y∥ kaikille x, y. Lipschitzisyys ei välttämättä vaadi differentiabiliteettia, vaan se on suorempi, voimassa oleva ehto.

Ominaisuuksia: Kaikki Lipschitz-funktiot ovat yhtenäisesti (uniformisti) jatkuvia. Käänteisesti uniformisti jatkuva funktio ei välttämättä ole Lipschitz. Lipschitzisuus säilyy yhdisteissä ja kompositioissa: jos f on L-Lipschitz ja g on M-Lipschitz, niin g ∘ f on (M L)-Lipschitz. Funktio, joka on globaali Lipschitz, on myös paikallinen Lipschitz-ominaisuus, mutta paikallinen Lipschitz ei välttämättä ole globaali.

Esimerkkejä: f(x) = ax + b on L-Lipschitz, missä L = |a|. Trig-funktio sin on 1-Lipschitz koko todellisella vakiolla, koska |sin u − sin v| ≤ |u − v|. f(x) = x^2 ei ole globaali Lipschitz-funktio R → R, mutta on Lipschitz rajoitetulla välillä.

Paikallinen Lipschitzisuus: f on local-Lipschitz, jos jokaisessa pisteessä löytyy ympäristö, jolla f on Lipschitz. Monia differensiaalilähtöisiä funktioita on local-Lipschitz, ja Lipschitz-ominaisuus liittyy myös tärkeisiin teoreemoihin, kuten Rademacherin teoreemaan, joka takaa derivoituvuuden lähes everywhere. Käytännössä Lipschitzisyys varmistaa vakauden, yhtenäisyyden ja helpottaa analyysiä sekä ratkaisujen tutkimista esimerkiksi differentiaaliyhtälöissä ja optimointitehtävissä.