Linjärisering

Linjärisering är processen att approximera en icke-linjär funktion eller ett icke-linjärt system med ett linjärt nära en specifik punkt, ofta en jämvikt eller operativ punkt. Den vanligaste metoden är första ordningens Taylor-utveckling, vilket innebär att man används en tangentlinje eller tangentplan som lokal approximation. I flerdimensionella sammanhang används Jacobianmatrisen vid punkten x0, så att f(x) ≈ f(x0) + J(x0) (x − x0).

I en dynamisk kontext skrivs ofta systemet som x' = f(x). Vid en jämvikt x uppfylls f(x) = 0. Den linjerade modellen nära x fås då av δx' = A δx, där A = ∂f/∂x|_{x} är Jacobianen vid jämvikten. Egenvärdena hos A avgör lokal dynamik och stabilitet: om alla egenvärden har negativa reella delar är jämvikten lokalt asymptotiskt stabil, annars kan systemet vara instabilt.

Användningar är vanliga inom reglerteknik, där man modelljusterar ett icke-linjärt system med en linjär modell runt en driftpunkt för att utforma regler- och observerarkonstruktioner. Inom matematisk analys och optimering används linjärisering som grundsteg i Newtons metod och i små-signalmodeller för att studera responsen hos fysiska system.

Begränsningar: linjära approximationer är endast giltiga nära expansionspunkten och kan ge felaktiga eller missvisande resultat om variablerna avviker betydligt från punkten. Vid bifurkationer eller starkt icke-linjära beteenden kan högre ordning eller helt olika analysmetoder behövas.