Lineaarvõrrand

Lineaarvõrrand on võrrand, kus muutujaid esinevad ainult esimeses astmes ja puuduvad toote- või kõrgemate astmete terminid. See tähendab, et võrrand on kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, kus a1, ..., an ja b on konstantid ning x1, ..., xn on muutujaid. Kui on üks muutuja, kujutab see endast vormi a x + b = 0 (a ≠ 0).

Lineaarvõrrandite süsteeme nimetatakse sageli lineaarseteks võrranditeks. Ühemuutuja korral lahend on x = -b/a, kui a ≠ 0. Mitme muutuja korral on tegemist süsteemiga koefitsientide maatriks A ja paremnõu b, mille lahend x rahuldab A x = b.

Lahendamise meetodid hõlmavad asendust, korrutust ja koondset Gauss'i eliminatsiooni või maatriksite pööramist. Ridade vähendamine (gauss'i vähendamine) on levinud üldine meetod, mis leiab lahendi või näitab, et lahend puudub või on lõpmatult palju.

Näide ühe muutuja lineaarvõrrandist: 3x + 5 = 0 annab lahendi x = -5/3. Näide kahe muutuja puhul: 2x - 3y = 6 ja x + y = 4. Lahendamine: y = 4 - x; 2x - 3(4 - x) = 6 -> 5x = 18 -> x = 18/5, y = 2/5.

Lineaarvõrrandid on olulised lineaaralgebra aluseks ning neid kasutatakse looduses, inseneritöös, majanduses ja sotsiaalteadustes suhete modelleerimiseks, kus muutujad käituvad lineaarsete seostena. Neid võrrandeid lahendatakse sageli täpse või lähendatava lahendina.