Lineaarimuunnoksia

Lineaarimuunnos on funktio kahden vektoriavaruuden välillä, joka säilyttää vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen. Tämä tarkoittaa, että jos $T$ on lineaarimuunnos, niin kaikille vektoreille $u$ ja $v$ sekä skalaarille $c$ pätee $T(u+v) = T(u) + T(v)$ ja $T(cu) = cT(u)$. Lineaarimuunnoksia voidaan kuvata matriiseilla. Jos $T$ on lineaarimuunnos avaruudesta $\mathbb{R}^n$ avaruuteen $\mathbb{R}^m$, niin on olemassa yksikäsitteinen $m \times n$ matriisi $A$, siten että $T(x) = Ax$ kaikilla $x \in \mathbb{R}^n$. Matriisin $A$ sarakkeet ovat muunnoksen kuvia standardikantavektoreista.

Lineaarimuunnokset ovat keskeisiä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Ne kuvaavat esimerkiksi geometrisia operaatioita, kuten kiertoja, venytyksiä ja peilauksia. Algebrassa lineaarimuunnokset liittyvät läheisesti lineaarikuvauksiin ja niitä käytetään yhtälöryhmien ratkaisemisessa. Erityistapauksina lineaarimuunnokset ovat isomorfismeja, jotka säilyttävät avaruuksien rakenteen. Lineaarimuunnosten tutkiminen auttaa ymmärtämään vektoriavaruuksien ja niiden välisten suhteiden perusominaisuuksia. Niiden avulla voidaan analysoida ja mallintaa monenlaisia ilmiöitä.