Lineaarimuunnos

Lineaarimuunnos on matemaattinen funktio, joka kuvaa lineaaristen avaruuksien välistä suhdetta. Se tunnetaan myös nimellä lineaarikuvaus tai homomorfismi. Lineaarimuunnoksen keskeinen ominaisuus on, että se säilyttää vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen. Tarkemmin sanottuna, jos T on lineaarimuunnos vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin kaikille vektoreille u ja v avaruudesta V ja kaikille skalaareille c pätee: T(u + v) = T(u) + T(v) ja T(c * u) = c * T(u).

Lineaarimuunnoksia esiintyy laajasti matematiikassa ja sen sovelluksissa. Ne ovat keskeisiä esimerkiksi lineaarialgebrassa, differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä fysiikassa. Geometrisesti lineaarimuunnos voi edustaa esimerkiksi kiertoa, venytystä, peilausta tai projisointia. Nämä muunnokset säilyttävät origon, eli nollavektori kuvautuu aina nollavektoriksi.

Jokainen lineaarimuunnos voidaan esittää matriisina, kunhan vektorit on esitetty koordinaattivektoreina jonkin kannan suhteen. Matriisikertolasku vastaa tällöin lineaarisesta muunnoksesta. Matriisin koko määräytyy kuvauskohteen ja kuvauslähteen avaruuksien ulottuvuuksien perusteella. Lineaarimuunnoksen ydin (kernel) ja kuva (image) ovat myös tärkeitä käsitteitä, jotka kuvaavat muunnoksen käyttäytymistä ja sen tuottamaa avaruutta.