Lineaarilaskennassa

Lineaarilaskenta, yleisemmin lineaarinen algebra, on matematiikan osa, joka tutkii vektoriavaruuksia, lineaarisia kuvauksia ja lineaarisia järjestelmiä. Keskeisiä käsitteitä ovat vektorit, vektoriavaruudet, lineaariset yhdistelmät ja lineaarinen riippuvuus. Vektoriavaruus on joukko, jossa on määritelty vektorien yhteenlasku ja skalaari-kertolasku, ja jonka sisällä voidaan muodostaa lineaarisia yhdistelmiä. Basis on vektoreiden joukko, jonka lineaariset yhdistelmät kattavat koko avaruuden; dimensio on tämän basisin määrä.

Lineaariset kuvaukset ovat karttoja, jotka säilyttävät lineaarisen rakenteen. Kun valitsemme perusjoukot sekä lähde- että kohdeavaruudessa, kuvaus voidaan esittää matriisina, mikä helpottaa sekä teoreettista että laskennallista käsittelyä. Ominaisuudet kuten injektiivisyys, surjektiivisyys ja bijektiivisyys liittyvät siihen, miten kuvaus yhdistää lähtö- ja kohdeavaruuden vektoreita. Systeemien lineaariset yhtälöt Ax = b esitetään usein matriisimuodossa, ja ratkaisujen olemassaolo sekä luonne määräytyvät matriisin ominaisuuksien mukaan; Gaussin eliminointi ja rivien permutointi ovat yleisiä ratkaisutapoja, ja rank kertoo ratkaisujen määrää.

Ominaisarvot ja -vektorit sekä spektriteoreema tarjoavat välineitä lineaaristen kuvauksien ymmärtämiseen. Diagonalisointi ja SVD eli pinnallinen arvojen dekompositio ovat keskeisiä työkaluja matriisien käsittelyssä sekä data-analyysissä. Lineaarilaskenta hyödyntää sisätuloa ja ortogonaalisuutta, esimerkiksi Gram–Schmidt -menetelmällä rakennetaan ortogonaalisia perusjoukkoja.

Sovelluksia on lukuisia: järjestelmien mallintaminen, optimointi, tietojenkäsittely, grafiikka sekä koneoppiminen. Käytännön työkaluina ovat matriisilaskentaohjelmistot ja ohjelmistokirjastot kuten MATLAB, NumPy ja Octave.