Lineaarijärjestelmässä

Lineaarijärjestelmässä tarkoitetaan joukkoa yhtälöitä, joissa tuntemattomat esiintyvät lineaarisesti. Jokainen yhtälö on muoto a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, missä koeffisientit aij ja oikeanpuoleinen arvo b ovat vakiolukuja. Järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon Ax = b, jossa A on m×n- kokoinen koeffisientti- matrisi, x on tuntemattomien vektori ja b on oikean puolen vektori.

Lineaarijärjestelmän ratkaisut voidaan tarkastella Rankin avulla. Augmentoitu matriisi [A|b] yhdistetään koeffisienttien kanssa. Järjestelmä on johdonmukainen (ratkaistavissa) jos Rank(A) = Rank([A|b]). Jos lisäksi Rank(A) = n, jossa n on tuntemattomien määrä, järjestelmä on yksikäsitteinen. Jos Rank(A) < n, ratkaisut muodostavat ei-ainesottuvan vektoryhmän (= vapaat muuttujat), eli ratkaisuja on äärellisesti monta tai ne muodostavat parametrisessa muodossa akseja. Jos Rank(A) < Rank([A|b]), järjestelmä on epäyhtenäinen eikä ratkaisuja ole.

Yleisiä ratkaisumenetelmiä ovat Gaussian elimination ja Gauss-Jordan -menetelmät, joilla käytännössä suoritetaan rivien operaatioita ja pyritään saamaan järjestelmä yleistetysti ykkösti ja nolliksi. Jos järjestelmä on neliö ja A on käänteinen, ratkaisu voidaan löytää ratkaisemalla x = A^-1 b.

Esimerkki: x + 2y = 5 ja -x + y = 1. Ratkaisut antavat x = 1, y = 2. Lineaarijärjestelmät ovat yleisiä matematiikassa ja niiden sovellukset ulottuvat insinööritieteisiin, taloustieteisiin ja fysiikkaan. Rajoitteena on, että muutokset kasvattaa epälineaarisuudeksi ja monimutkaistaa ratkaisuprosessin.