Lineaarijärjestelmän

Lineaarijärjestelmän käsite viittaa järjestelmään, jonka toiminta noudattaa lineaarisuutta. Tämä tarkoittaa additiivisuutta ja homogeneisuutta. Toisin sanoen, jos syötteisiin x1(t) ja x2(t) kohdistetaan painotukset a ja b, järjestelmän vaste on a y1(t) + b y2(t), jossa y1 ja y2 ovat vastaavien syötteiden tuotoksia.

Lineaarijärjestelmä voidaan kuvata useilla tavoilla. Jatkuva-aikainen, aika-invariantti lineaarijärjestelmä määritellään impulssivasteen h(t) avulla: y(t) = ∫ h(τ) x(t−τ) dτ. Diskreetti-aikainen vastine on y[n] = Σ_k h[k] x[n−k]. Impulssivaste kuvaa koko järjestelmän vasteen. Siirtofunktio H(s) (Laplace) tai H(z) (Z-muotoinen) kuvaa taajuusvasteen. Tilasta-muunnossa järjestelmä esitetään tilamuunnoksena x' = A x + B u; y = C x + D u.

Esimerkkejä: y(t) = 3 x(t) on lineaarinen, koska noudattaa lineaarisuutta. y(t) = x(t)^2 ei ole lineaarinen.

Sovelluksia ovat signaalinkäsittely, säätötekniikka ja monenlaiset järjestelmät, joissa tarvitaan mallintamista ja analyysiä. Ominaisuuksiin kuuluu stabiilisuus: BIBO-stabiilius tarkoittaa, että rajatun syötteen yhteydessä output on rajattu. Järjestelmät voivat olla jatkuva- tai diskreettiaikaisia; ne voidaan analysoida konvoluution, taajuusvasteen tai tilayhtälöiden avulla.

Rajoitukset: monet todelliset järjestelmät eivät ole täysin lineaarisia; lineaarinen malli on usein paikallinen tai lineaarinen approksimaatio suuremmassa toimintapisteessä.