Limitvärden

Limitvärden är centrala i analys och beskriver vilket värde en följd eller en funktion närmar sig när argumentet närmar sig ett specifikt värde eller oändligheten. Om ett sådant värde existerar sägs följden eller funktionen ha ett gränsvärde (limitvärde); om inget gränsvärde finns sägs värdet saknas eller att gränsen inte existerar. Begripet används bland annat för att definiera kontinuitet, derivata och integraler.

För följder: Ett tal L är gränsvärde för en följd a_n när n går mot oändligheten om för varje epsilon > 0 finns ett N så att |a_n − L| < epsilon när n ≥ N. Om ett gränsvärde existerar är det unikt. Exempel: lim_{n→∞} a_n = 0 om a_n blir små för stora n. Följder kan också divergera eller oscillera utan gränsvärde.

För funktioner: Ett tal L är gränsvärdet av f när x närmar sig a om för varje epsilon > 0 finns ett delta > 0 så att 0 < |x − a| < delta ⇒ |f(x) − L| < epsilon. Detta kallas tvåsidigt gränsvärde. One-sided gränsvärden definieras analogt, till exempel lim_{x→a^+} och lim_{x→a^-}. Vid oändligheten talar man om lim_{x→∞} eller lim_{x→−∞}, där funktionen närmar sig ett tal eller växer utan gräns (±∞).

Exempel: lim_{n→∞} 1/n = 0. lim_{x→0} sin(1/x) existerar inte eftersom funktionen oscillerar utan att närma sig ett bestämt värde. Gränsvärden används även för att definiera kontinuitet: f är kontinuerlig vid a om lim_{x→a} f(x) = f(a).