Lagrangefunksjonen

Lagrangefunksjonen, ofte forkortet L, er et sentralt begrep innenfor både mekanikk og optimering. I klassisk mekanikk, spesielt i formuleringen av Lagrange-mekanikk, representerer Lagrangefunksjonen forskjellen mellom den kinetiske energien (T) og den potensielle energien (V) til et system. Matematiskt uttrykkes dette som L = T - V. Denne funksjonen er et kraftig verktøy fordi den lar en beskrive et fysisk systems dynamikk ved hjelp av generaliserte koordinater og hastigheter, i stedet for de mer komplekse kreftene og akselerasjonene som brukes i Newtons mekanikk. Euler-Lagrange-ligningene, som utledes fra Lagrangefunksjonen, gir bevegelsesligningene for systemet.

Innenfor optimering, spesielt ved betinget optimering, brukes Lagrangefunksjonen til å omdanne et problem med likhetsbetingelser til et ubetinget problem. Gitt en funksjon f(x) som skal minimeres eller maksimeres, og en betingelse g(x) = 0, konstrueres Lagrangefunksjonen som L(x, λ) = f(x) + λg(x), hvor λ er en Lagrange-multiplikator. Ved å finne stasjonærpunktene til denne funksjonen (der gradienten er null), kan en finne løsningene til det opprinnelige betingede optimeringsproblemet. Lagrangefunksjonen spiller dermed en viktig rolle i å forenkle og løse et bredt spekter av vitenskapelige og ingeniørmessige problemer.