Lagrangeformában

Az Lagrange-formájú interpoláció egy polinomílis interpolációs eljárás, amely egy adott ponthalmaz átmenő polinomját adja meg. Legyenek x_0, …, x_n különböző csomópontok és y_i = f(x_i) az adott függvény értékei a pontokon. A kívánt polinom p(x) deg( p ) ≤ n az alábbi Lagrange-formában írható fel: p(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x), ahol L_i(x) = ∏_{j≠i} (x - x_j)/(x_i - x_j).

A L_i(x_j) = δ_{ij} tulajdonság miatt p(x_i) = y_i, tehát a polinom átmegy a megadott pontokon. Ez a megoldás a polinom alapvektorainak (L_i) lineáris kombinációja, amely a végrehajtás során könnyen módosítható, ha új pontokat adunk hozzá vagy meglévőket módosítunk.

Számítási megfontolások: a közvetlen kiértékelés O(n^2) időt igényel. Gyakran alkalmazzák a barycentrikus Lagrange-interpolációt, amely stabilabb és hatékonyan számolható: p(x) = (sum_i w_i y_i /(x - x_i)) / (sum_i w_i /(x - x_i)), ahol w_i = 1 / ∏_{j≠i} (x_i - x_j).

Előnyök és korlátozások: egyszerűen megadható az interpoláló polinom; azonban numerikus instabilitás fordulhat elő nagy n esetén és egyenletesen osztott pontoknál a Runge-jelenség miatt nagy kilengések is megfigyelhetők.

Történelem és alkalmazások: Joseph-Louis Lagrange nevéhez fűződik a módszer, amelyet széles körben használnak adatok közti értékek megközelítésére grafikus megjelenítésekben, numerikus analízisben és mérnöki számításokban. A módszer kapcsolatban áll a Newton-formával és a barycentrikus megvalósításokkal.

---