Rungejelenség

Rungejelenség, vagy Runge-féle jelenség a polinomiális interpolációval kapcsolatos ismert probléma. Ha egy függvényt egy zárt intervallumon n+1 egyenletesen elhelyezett csomóponton átmenő polinommal közelítünk, a hiba nem feltétlenül csökken a fok növelésével, és a végpontok környékén erősen kilenghet, míg a belső pontokon viszonylag jó maradhat a közelítés. A jelenséget Carl Runge írta le a 20. század elején.

Példa erre a f(x) = 1/(1+x^2) függvény az [-1,1] intervallumon. Egyenletesen elosztott csomópontokkal vett polinom-interpolációkra a fok növekedésével végpontok közelében egyre nagyobb hibák adódnak, és az interpoláció nem konvergál egységesen a függvényhez.

Okai közé tartozik, hogy a magas fokú polinomok hajlamosak erősen kilengeni az intervallum szélein, különösen gyorsan változó vagy analitikus függvények esetében, ha a csomópontok egyenletesen vannak elosztva. Emellett a numerikus instabilitás is hozzájárulhat.

Megoldások közé tartozik a csomópontok nem egyenletes kiválasztása, például Chebyshev-csomópontok alkalmazása, amelyek minimalizálják a maximális hibát a végpontok környékén. Továbbá használhatók darabokra bontott interpolation (splines), barycentrikus Lagrange-interpoláció, racionális közelítések vagy spektrális módszerek ortogonális polinomokra épülő bázisokkal. Ismerete segít a stabilabb közelítési módszerek kiválasztásában és a numerikus hibák elkerülésében.

---