LTIjärjestelmä

Lineaarinen aika-invariantti (LTI) järjestelmä on signaalien käsittelyyn käytetty malli, joka täyttää sekä lineaarisuuden että aika-invarianttiuden ominaisuudet. Lineaarisuus tarkoittaa, että järjestelmä noudattaa superposition periaatetta: jos syöte x1(t) aiheuttaa vasteen y1(t) ja syöte x2(t) vasteen y2(t), niin yhdistelmä a x1(t) + b x2(t) tuottaa vasteen a y1(t) + b y2(t). Aika-invarianttius tarkoittaa, että jos syöte x(t) saa vasteen y(t), niin syötteen x(t - t0) vaste on y(t - t0).

Järjestelmän vaste määritellään yleensä impulse-vasteella. jatkuvassa ajassa se merkitään h(t) ja epäjatkuvassa ajassa h[n]. Vasteen yhteys syötteeseen on konvoluutio: jatkuvalla ajalla y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ, epäjatkuvassa ajassa y[n] = x[n] * h[n] = ∑_k x[k] h[n − k]. Impulssivasteen tunteminen yksinään määrittelee koko järjestelmän.

Siirtovasteet ja taajuusvasteet kuvaavat järjestelmän käyttäytymistä taajuudessa. Järjestelmä voidaan määritellä Laplaceen alueen transfer functionilla H(s) = Y(s)/X(s) continuous-time-tilanteessa tai Z-transformin avulla H(z) diskreetissä, jolloin taajuusvaste on H(jω) tai H(e^{jω}). LTI-järjestelmillä on ominaisuus, että kompleksiset eksponentiaalit e^{st} (jatkuvassa ajassa) tai e^{jωn} (epäsäännöllisessä ajassa) ovat eigenfunktioita, ja vaste on näillä syötteillä saadaan suoraan H(s) tai H(e^{jω}).

Eri ominaisuudet, kuten causality ja stabiilius, ovat tärkeitä käytännössä: epäjatkuvissa järjestelmissä h[n] tai jatkuvassa ajassa h(t) voidaan olla nolla ennen nollaa (causal), ja BIBO-stabiilius tarkoittaa ∫|h(t)| dt < ∞ tai ∑|h[n]| < ∞. LTI-järjestelmät voidaan myös esittää differenssiaali- tai differentiaaliyhtälöin sekä tilamallinnuksina.