L1avstand

L1-avstand, også kjent som Manhattan-avstand eller L1-norm, er en måte å måle avstanden mellom to punkter i et rom. For to n-dimensjonale vektorer x og y er L1-avstanden definert som d1(x, y) = sum_i |x_i - y_i|. I to dimensjoner blir det |x1 - y1| + |x2 - y2|. Navnet kommer fra den ruten som følger et bynettverk med akse-bevegelser, slik man ofte tenker på i Manhattan.

L1-avstanden er en spesiell tilfelle av Minkowski-normer: d_p(x, y) = (sum_i |x_i - y_i|^p)^(1/p) for p ≥ 1. Når p = 1 får man L1-normen. Den betegnes ofte som en av de n'er i norm-familien og står i kontrast til L2-avstanden (euclidean distance), som bruker kvadrerte forskjeller.

Egenskaper og matematikk: L1-avstand er en metrikk, dvs. den oppfyller ikke-negativitet, identitet av indistingjøring, symmetri og trekantslikningen. Avstanden mellom to like vektorer er null, og mellom ulike vektorer er den positiv. L1-avstand kan også brukes til å måle forskjeller mellom sannsynlighetsfordelinger (total variation dece), hvor halvparten av L1-normen av forskjellen mellom to fordelingsfunksjoner ofte brukes.

Bruksområder: L1-avstand brukes i maskinlæring og statistikk i k-medians clustering og som avstands- eller tapsmål i visse optimeringsproblemer. Den står også sentralt i mulige varianter av regulære metoder (for eksempel L1-regulering, som fremmer sparsitet) og i beregning av avstander i gitterbaserte miljøer.

Begrensninger og bemerkninger: I høyere dimensjoner kan betydningen av L1-avstand endres og må tilpasses bruksområde. Beregningen er enkel og effektiv, og L1-normen er ofte en intuitiv og robust alternativ til L2 i ulike kontekster.