Kvadraattinen

Kvadraattinen on suomenkielinen adjektiivi, joka tarkoittaa jotakin toisen asteen eli kvadraattisen ilmiön tai rakenteen luonnetta. Termi juontuu kvadraatti-juuresta sekä lainasanasta kvadraatti, ja sitä käytetään yleisesti matematiikassa kuvaamaan toisen asteen ilmiöitä esimerkiksi algebrassa, geometrissa ja lineaarialgebrassa.

Yleisin kvadraattinen polynomi on toisen asteen polynomifunktio: f(x) = ax^2 + bx + c, jossa a ≠ 0. Grafiikaltaan tällainen funktio muodostaa paraabelin. Akseli symmetriä on x = −b/(2a), ja kärjen y-koordinaatti on f(h) missä h = −b/(2a). Diskriminantti Δ = b^2 − 4ac määrää juurien lukumäärän: Δ > 0 kaksi erillistä juurta, Δ = 0 kaksoisjuuri, Δ < 0 ei reaaleja juuria. Juuret ovat (-b ± sqrt(Δ)) / (2a). Juuriensa summa on −b/a ja tuotto c/a.

Kvadrataattinen muoto (kvadraattinen muoto) viittaa lineaarialgebrassa monien muuttujien toisen asteen polynomiseen muotoon q(x) = x^T A x, jossa A on symmetrinen matriisi. Muoto voidaan diagoalisoida sopivalla perusmuutoksella ja luokitella sen ominaisarvojen perusteella. Sovelluksia ovat geometry, optimointi ja tilastotiede, sekä teorian että käytännön ongelmien ratkaisut.

Käytännössä kvadraattinen käsite kattaa erilaisia konteksteja, kuten toisen asteen polynomit, toisen asteen muotokuvat ja niihin liittyvät transformaatiot sekä ratkaisut.