Kurvningen

Kurvningen (curvature) är ett mått på hur mycket en kurva böjer sig jämfört med en rak linje. I svenska, danska och norska används termen kurvningen för begreppet curvature. Inom matematiken används kurvningen både för planer och för ytor, samt i större dimensioner där den används inom differentialgeometri. För en plan kurva som ges parametriskt av r(t) = (x(t), y(t)) definieras den vanligt förekommande magnituden κ som κ = |x' y'' − y' x''| / (x'^2 + y'^2)^(3/2). Denna formel mäter hur snabbt kurvan ändrar riktning; tecknet på κ anger riktning vid en orienterad kurva. Radiussen av krökningen är R = 1/κ, där större R motsvarar mindre böjning. För en graf y = f(x) förenklas uttrycket till κ = |f''(x)| / (1 + f'(x)^2)^(3/2).

På ytor används andra mått som Gaussisk kurvatur K och medelkurvatur H. Gauss Theorems Egregium visar att K är en intrinsic egenskap hos ytan, dvs. den beror endast på ytan inre geometri och inte på hur ytan är inbäddad i rummet. För rymden används Frenet-Serret ramverk där kurvaturen κ beskriver hur snabbt en rät linje längs kurvan vänder i rummet och torsion τ beskriver hur kurvan tjuvar ur sin egen plan.

Användningar omfattar väg- och järnvägsdesign där säker och bekväm kurvatur måste uppfylla praktiska krav, fysik där partikelbanor och ljusvägar böjs av i fält, samt datorgrafik och bildbehandling där kurvaturen används i modellering och kantdetektion. Historiskt har begreppet utvecklats inom differentialgeometri av Euler, Gauss och Frenet/Serret, och det är grundläggande i både teoretisk och tillämpad geometri. En cirkel har konstant κ = 1/R, medan en rät linje har κ = 0.