Korrelaatiofunktiot

Korrelaatiofunktiot ovat matemaattisia työkaluja, joita käytetään mittaamaan riippuvuutta kahden signaalin tai kahden satunnaisprosessin arvojen välillä eri aikaväleillä tai paikkalagien erossa. Ne kuvaavat, kuinka hyvin signaali muistuttaa itseään tietyn viiveen jälkeen tai kuinka kaksi signaalia liittyvät toisiinsa.

Autokorrelaatiofunktio kuvaa prosessin X(t) tai x[n] riippuvuutta sen oman viiveen τ mukaan. Se merkitään usein R_xx(τ) ja määritellään yleisesti odotusarvona R_xx(τ) = E[X(t) X(t+τ)]. Jos prosessi on stabiili (wide-sense stationary), R_xx riippuu vain viiveestä τ ja on tavallisesti symmetrinen: R_xx(-τ) = R_xx(τ). Normoitu autokorrelaatio ρ_xx(τ) = R_xx(τ) / R_xx(0) antaa tuloksen välillä -1 ja 1, jolloin ρ_xx(0) = 1.

Risti-korrelaatiofunktio R_xy(τ) mittaa kahden signaalin X(t) ja Y(t+τ) välistä riippuvuutta: R_xy(τ) = E[X(t) Y(t+τ)]. Se kertoo ajallinen viive, jonka kautta signaalit ovat parhaiten yhteydessä.

Discreetillä ajalla määritellään vastaavasti R_xx[k] = E[x[n] x[n+k]] ja R_xy[k] = E[x[n] y[n+k]]. Itsearviointi käytännössä tehdään näytteille: esimerkkinä otetaan r_xx[m] = (1/(N−m)) ∑_{n=0}^{N−m−1} x[n] x[n+m].

Korrelaatiofunktiot liittyvät taustalla myös spektriseen analyysiin: Wiener–Khinchin -teoreema sanoo, että voima-spektriaalinen tiheys on R_xx(τ):n Fourier'n muunnos, ja risti-korrelaatio vastaavasti suoraan spektriin. Käytetään muun muassa aikasarjojen analysointiin, signaalinkäsittelyyn, fysiikkaan ja taloustieteeseen. Ero covarianceen on usein normaaliokäyräisyyden vuoksi käytetty korrelaatio.