Konvoluutiolla

Konvoluutio on kahden funktion tai signaalin yhdistämisen matemaattinen operaatio, joka tuottaa kolmannen funktion. Sitä merkitään usein tähdellä: f * g. Konvoluution ideana on käytännössä puolustaa, miten toinen funktio vaikuttaa toiseen sen kaikissa mahdollisissa siirroissa ja laajuuksissa.

Määritelmät. Yhteensopiva kontinuuvaalinen konvoluutio määritellään (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ. Diskreetti versio puolestaan on (f * g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n − k], jonka käyttöalue rajoittuu yleisesti signaalin tai funktion näppäin pituuteen ja rakenteeseen. Käytännössä konvoluutio voi kuvata esimerkiksi impulssivasteen vaikutusta järjestelmään, jolloin ulostulo Y = X * h.

Ominaisuudet. Konvoluutio on lineaarinen ja usein kerroin- sekä siirtoa vierentävät ominaisuudet, mikä tekee siitä keskeisen työkalun lineaarisissa aikamuutoksissa ja järjestelmissä. Tärkeä ominaisuus on, että Fourier-taulukoinnissa konvoluutio muuntuu tulon määritykseen: F{f * g} = F{f} · F{g}. Tämä mahdollistaa konvoluution nopean laskennan käyttämällä nopeaa Fourier’n muunnosta (FFT) ja soveltamisen spektrissä.

Sovellukset. Konvoluutiota käytetään signaalin ja kuvan käsittelyssä, ääni- ja kuvadataan suodattimien suunnitteluun sekä lineaarisiin aikavarmien järjestelmien mallintamiseen. Se esiintyy myös todennäköisyyden jakaumien yhteenlaskussa, ratkaisussa differentiaaliyhtälöihin ja Greenin tai impulsevasteen kaltaisissa ratkaisuissa.

Käytännön huomioita. Finite-length-signaaleille konvoluutio voidaan toteuttaa eri rajaus- tai padding-käytännöillä (full, same, valid). Suurissa malleissa täsmällinen laskenta voi olla O(nm) naiivisti, mutta FFT-pohjaiset konvoluutiot tuottavat tehokkuutta tyypillisesti O(n log n).