Konvergerande

Konvergerande är ett svenskt adjektiv som används för att beskriva att något närmar sig ett bestämt värde när en process fortskrider eller när antalet steg ökar. Termen används främst inom matematik och angränsande vetenskaper för att uttrycka att en följd, funktion eller serier bete sig mot ett gränsvärde.

Inom analysen talar man om konvergerande följder och konvergerande serier. En följd a_n sägs konvergera till L om det finns ett L så att a_n närmar sig L när n går mot oändligheten, formulerat som att för varje epsilon > 0 finns ett N så att |a_n − L| < epsilon för alla n ≥ N. En serier är konvergent om de partiella summorna S_n = ∑_{k=1}^n a_k närmar sig ett gränsvärde S när n → ∞. Skillnader mellan punktvis konvergens och uniform konvergens kan förekomma när man betraktar funktioner f_n(x) som konvergerar till en funktion f(x).

Konvergenshastigheten beskriver hur snabbt närmandet sker, till exempel linjär eller kvadratisk konvergens. Inom numerisk analys studeras ofta hur snabbt en iterativ metod närmar sig en lösning, och villkoren för konvergens kan bland annat baseras på kontraktioner och fixpunkts satser som Banach.

Exempel: följden a_n = 1/n konvergerar till 0. Serien ∑ 1/2^n konvergerar till 1. Alternating-harmonis och vissa serier konvergerar endast villkorligt. Konvergens kopplas samman med begreppet gränsvärde och är centralt i analyser av funktioner, talteori och olika algoritmers beteende.