Konveksanalüüsi

Konveksanalüüsi on matemaatika haru, mis uurib koonusfunktsioone ja koonuskomplekse. Koonusfunktsioon on funktsioon, mille graafik asub osaliselt selle koonuse sees, mida see tekitab. Koonuskompleks on koonusfunktsiooni graafiku projektsioon selle koonuse sees. Konveksanalüüsi kasutatakse paljudes rakendustes, sealhulgas optimeerimine, masinõpe ja kontrolliteooria.

Koonusfunktsiooni jaoks f on see konveks, kui iga x ja y funktsiooni domeenis ja iga t vahemikus [0, 1] kehtib f(tx + (1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y). Geomeetriliselt tähendab see, et funktsiooni graafiku jooned, mis ühendavad kahte punkti graafikul, asuvad graafiku kohal või sellel.

Koonuskompleks on koonusfunktsiooni graafiku projektsioon selle koonuse sees. Koonuskompleks on koonuskompleksiks, kui see on koonus. Koonuskompleksi kasutatakse selleks, et tuvastada, kas koonusfunktsioon on konveks. Kui koonuskompleks on koonus, siis on koonusfunktsioon konveks.

Konveksanalüüsi on kasulik tööriist paljude probleemide lahendamiseks, sealhulgas optimeerimine, masinõpe ja kontrolliteooria. Konveksanalüüsi kasutatakse eelkõige optimeerimisprobleemide lahendamiseks, kus eesmärgiks on leida koonusfunktsiooni miinimum- või maksimumväärtus. Konveksanalüüsi kasutatakse ka masinõppes, et tuvastada koonusfunktsioone, mida saab kasutada klassifitseerimis- või regressioonimudelites. Kontrolliteoorias kasutatakse konveksanalüüsi koonusfunktsioonide uurimiseks, mida saab kasutada stabiilsete juhtimissüsteemide projekteerimiseks.