maksimumväärtus

Maksimumväärtus on suurim väärtus, mida funktsioon määratud domäänil võtab. Maksimumväärtust võib eristada kaheks: globaalne (kogu domääni ulatuses kõige suurem väärtus) ja lokaalne (mõnes piirkonnas suurim väärtus). Maksimumi koht on selle väärtuse saamise punkt.

Kui f on pidev funktsioon suletud ja piiratud vahemikus [a, b], siis ekstreemväärtuste teoreem garanteerib, et funktsioon saavutab nii maksimaalse kui miinimumväärtuse. Ilma piirideta domäänidel maksimaalse väärtuse olemasolu ei ole alati garanteeritud.

Kuidas leida maksimumväärtust? Leia kriitilised punktid x0, kus f'(x0) = 0 või f' on määramatu; seejärel hinda f väärtused nende punktide ja lõpp-punktide [a, b] suhtes ning vali suurim väärtus. Kui funktsioon ei ole sile, võivad kriitilised punktid hõlmata ka nurkkohad või teisi mitte-diferentseeruvad kohti.

Funktsioonil võib olla lokaalne maksimum, kui on olemas x0 ja ε > 0, nii et iga x, mille korral |x − x0| < ε ja x ∈ D, rahuldab f(x) ≤ f(x0). Kui see kehtib rangemalt (>), on tegemist tugevama kohaliku maksimaalse väärtusega.

Näide: f(x) = −x^2 on R-l maksimaalväärtus 0, saavutatud punktis x = 0. Maksimaalväärtuse mõiste on oluline paljudes matemaatika valdkondades, sealhulgas optimeerimises ja analüüsis.