Kompleksnumrene

Kompleksnumrene er en utvidelse av de reelle tallene som inkluderer en imaginær enhet, ofte betegnet med $i$. Den imaginære enheten $i$ er definert slik at $i^2 = -1$. Et komplekst tall skrives generelt på formen $a + bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. Tallet $a$ kalles realdelen og tallet $b$ kalles imaginærdelen.

Mengden av komplekse tall betegnes ofte med symbolet $\mathbb{C}$. De komplekse tallene danner en kropp, noe som betyr at aritmetiske operasjoner som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (unntatt med null) kan utføres på en måte som ligner på reelle tall. Addisjon av to komplekse tall $(a + bi)$ og $(c + di)$ utføres ved å addere realdelene og imaginærdelene separat: $(a+c) + (b+d)i$. Multiplikasjon utføres ved hjelp av den distributive loven og egenskapen $i^2 = -1$: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Geometrisk kan komplekse tall representeres som punkter i et todimensjonalt plan, kjent som det komplekse planet eller Argand-diagrammet. Realaksen utgjør den horisontale aksen, og imaginæraksen utgjør den vertikale aksen. Et komplekst tall $a + bi$ tilsvarer punktet $(a, b)$ i dette planet. Denne representasjonen er nyttig for å visualisere operasjoner med komplekse tall og for å forstå deres egenskaper, som for eksempel modulus og argument.

Konseptet med komplekse tall oppsto i forbindelse med løsningen av polynomligninger, spesielt kvadratiske ligninger som ikke hadde reelle løsninger. Den fundamentale teoremet i algebra sier at ethvert ikke-konstant polynom med komplekse koeffisienter har minst én kompleks rot. Dette betyr at alle slike ligninger kan løses innenfor settet av komplekse tall, noe som gjør dem til et essensielt verktøy i mange grener av matematikk, fysikk og ingeniørvitenskap.