Kompleksimuodossa

Kompleksimuodossa tarkoittaa kompleksilukujen esittämistä muodossa z = a + bi, jossa a on reaaliosa ja b on imaginaariosa sekä i^2 = -1. Kompleksiluvut laajentavat reaalilukujen lukujoukkoa, ja jokaisella z:llä on sekä reaaliosa että imaginaariosa.

Reaalinen osa Re(z) = a, imaginaariosa Im(z) = b. Kompleksikonjugaatio z* = a - bi. Pituus (magnitude) |z| = sqrt(a^2 + b^2). Argumentti φ = Arg(z) = atan2(b, a). On myös polarimuoto z = r(cos φ + i sin φ) = r e^{iφ}.

Muunnokset: Rectangular- ja polarimuodot voidaan yhteensovittaa: a = r cos φ, b = r sin φ; φ = atan2(b, a). Esimerkki: z1 = 3 + 4i, z2 = 1 - 2i. Yhteenlasku antaa z1 + z2 = 4 + 2i, tulo z1 z2 = 11 - 2i.

Operatiot: Yhteen- ja vähennyslasku tapahtuvat komponentteina. Kertolasku: (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Jakolasku: (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c - di)] / (c^2 + d^2). Käytännön sovelluksia ovat polynomien ratkaisut, signaalinkäsittely ja sähkötekniikka, joissa kompleksiluvut kuvataan usein fasaesityksinä phasoreina sekä käytetään Eulerin kaavaa.

---