Kompaktësia

Kompaktësia është një koncept themelor në topologji dhe analizë që përshkruan një mënyrë të kontrollit të mbulimeve të hapura të një hape­sire ose të një seti objekte. Një subset K i një hape­sire topologjike X është kompakt nëse çdo mbulim me hapura i K-së me anë të hapësirave të X përmban një nënmbulim të fundëm të K-së. Kjo nënkupton një formë të kontrollueshme të përqendrimit dhe të moshuajtjes së përmbajtjes.

Në hapësirat metrike, kompaktësia është ekuivalente me sekuencialen kompakte: çdo sekuencë brenda K ka një nënsekuencë që konverjon në një anëtar të K-së. Një nga pasojat kryesore është se imazhi i një seti kompakt nën një funksion të vazhdueshëm është kompakt. Bashkimi me një numër të kufizuar të sets kompakt është kompakt; nënsetet e një seti kompakt janë kompakt gjithashtu. Në hapësirat e R^n me topologjinë standarde, Heine-Borel thotë se një subset është kompakt nëse është i mbyllur dhe i kufizuar.

Akuza të tjera të rëndësishme përfshijnë që funksionet e vazhdueshme mbi një set kompakt në përgjithësi vazhdojnë dhe arrihet maksimumi dhe minimoi (theorema e vlerave ekstreme). Kompaktësia është dhe një mjet themelor në provat analitike, të tilla si ekzistenca e nxjerrjeve të sigurta të vlerave ose të ekzistencës së zgjidhjeve të ekuacioneve të ndryshme në një domain të kufizuar.

Shembuj: [0,1] është kompakt në R; (0,1) jo. Rrjeti i një rrethi të mbyllur S^1 është kompakt. Bashkimi i një numri të kufizuar të seteve kompakte është kompakt.