Kommutointia

Kommutointia, tai kommutaatio, on käsite, jossa kaksi lineaarista operaattoria tai matriisia A ja B toimivat vuorotellen samaan lopputulokseen riippumatta siitä, kumpaa aloitetaan. Tälle ilmiölle määritellään kommutaatio [A,B] = AB − BA. Jos [A,B] on nolla, A ja B kommutoivat, eli AB = BA.

Matematiikassa kommutaatio on keskeinen käsite lineaarialgebrassa ja funktionaalisessa analyysissä. Esimerkiksi identtinen operaattori I kommutoi kaikkien kanssa; diagonaaliset matriisit voivat kommutoida, jos ne on valittu samaan perusvektoreiden joukkoon, ja jos A ja B ovat polynomeja samasta operatorista, ne kommutoivat.

Kommutointiyhteyksiä tutkitaan erityisesti yhteisten eigenvektoreiden sekä samanaikaisen spektrin kautta. Jos kaksi operaattoria commutoivat, niillä voi usein olla yhteisiä ominaisarvoja ja ne voidaan joissain tapauksissa diagonalisoida samassa perusteessa. Toisaalta ei-kommutaatio heijastuu monimutkaisempiin rakenteisiin, ja lopullinen spektri saattaa olla vaikeampi saavuttaa.

Fysiikassa kommutointi on keskeinen käsite kvanttimekaniikassa. Kaksi havaittavuutta edustavat operaattorit, jotka kommutoivat, voidaan mitata yhtäaikaisesti, kun taas ei-kommutaatio merkitsee mittausten epävarmuutta toistensa suhteen. Tunnettu esimerkki on position ja momentumin kommutaatio: [x,p] = iħ. Tämä johtaa Heisenbergin epätarkkuusperiaatteeseen.

Kaikkiaan kommutointia kuvaa laajemmin abeliessoja ja algebrallisia rakenteita: jos suurin osa alkioista kommutoi keskenään, ne muodostavat abelisen algebran. Kommutointi on sekä teoreettisen että soveltavan matematiikan peruskäsite.