Kokonaiskoordinaatiosta

Kokonaiskoordinaatiosta viittaa kohtiin, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja. Informaation kannalta tällaiset pisteet muodostavat säännöllisen pisteverkon, jonka pisteet ovat vuorovaikutuksessa muodostaen latticein. Esimerkiksi tasossa pisteet (x, y), joissa x ja y ovat kokonaislukuja, kuuluvat Z^2-latticeen.

Kokonaiskoordinaatiot voidaan yleistää n ulottuvuuteen: Z^n = { (x1, ..., xn) | xi ∈ Z }. Näitä pisteitä kutsutaan lattice-pisteiksi; ne muodostavat äärettömän tiheän, säännöllisen verkon, joka on toistuva sekä siirtojen että skaalauksien suhteen tietyin säännöin. Yleisesti koordinaatistojen lineaariset muunnokset, joiden tulos pysyy kokonaislukukokoisena, kuuluvat lineaariseen yhtenäisryhmään GL(n, Z).

Ominaisuudet ja havainnot: Latticein pisteet sulkevat yhteenlaskun ja pienennetyllä koordinaadilla, joten zähäyksessä pisteet voivat esiintyä vain tietyin tavodualaisuudella. Kaarien ja viivojen kohdalla lineaarinen interpolaatio kahden lattice-pisteen välillä voi sisältää muita lattice-pisteitä; pisteiden määrä segmentillä lasketaan usein gcd(|dx|, |dy|) + 1, missä dx ja dy ovat koordinaattien erotus. Primiteitä pisteitä ovat pisteet, joiden koordinaattien suurin yhteinen tekijä on 1.

Sovellukset: Kokonaiskoordinaatit ovat keskeisiä tietokonegrafiikassa, jossa kuvat ja näytön koordinaatistot esitetään usein kokonaislukuina. Pipelaitteiden ja reitityksen kannalta ruutupohjaiset verkot sekä Manhattan-etäisyydet nojaavat lattice-rakenteisiin. Lisäksi lukuteoriassa geometry of numbers ja ympäriinsä jakautuvat lattice-pisteet tutkivat lukujen ja pisteiden vuorovaikutusta, kuten pisteiden määrää ympyröissä tai monikulmioissa.